欧拉公式的推导_欧拉公式

1.欧拉公式的三种形式

2.什么是欧拉公式

欧拉公式有4条

（1）分式：

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

（2）复数

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。

当θ=π时，成为e＾iπ+1=0 它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了。

（3）三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面体

设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则

v-e+f=2-2p

p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如

p=0 的多面体叫第零类多面体

p=1 的多面体叫第一类多面体

等等

欧拉公式的三种形式

欧拉公式三种形式分别是：分式里的欧拉公式=a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)，复变函数论里的欧拉公式为e^ix=cosx+isinx，三角形中的欧拉公式为d＾2=R＾2-2Rr。

一、把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。

二、复变函数论中的欧拉公式证明：

1、当R=2时，由说明这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R=2，V=2，E=2，于是R+V-E=2，欧拉定理成立。

2、设R=m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R=m+1时欧拉定理也成立。由说明我们在R=m+1的地图上任选一个区域X，则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后，地图上只有m个区域了。

3、在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点，则该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点，该顶点两边的两条边界便成为一条边界。

什么是欧拉公式

欧拉公式的三种形式如下：R+V-E=2，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理，它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。

欧拉公式又称为欧拉定理，也称为尤拉公式，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，之所以叫作欧拉公式，那是因为欧拉公式是由莱昂哈德·欧拉提出来的，所以用他的名字进行了命名。?

尤拉公式提出，对任意实数?x，都存在其中?e是自然对数的底数，?i是虚数单位，而?\cos和?\sin则是余弦、正弦对应的三角函数，参数?x则以弧度为单位。这一复数指数函数有时还写作?{cis}(x)。由于该公式在?x为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本称为尤拉公式。

为什么欧拉公式被称为世界上最完美的公式了？

欧拉公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。”?虽然不敢肯定她是世界上“最伟大公式"，但是可以肯定它是最完美的数学公式之一。

欧拉公式是欧哈德·欧拉在十八世纪创造的，是数学界最着名、最美丽的公式之一。之所以如此，是因为它涉及到各种显然非常不同的元素，比如无理数e、虚数和三角函数。复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。

欧拉公式有4条，分别是：

1、分式

a＾r/（a-b）（a-c）+b＾r/（b-c）（b-a）+c＾r/（c-a）（c-b）

当r=0，1时式子的值为0；当r=2时值为1；当r=3时值为a+b+c。

2、复数

由e＾iθ=cosθ+isinθ，得到：sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i；cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。

当θ=π时，成为e＾iπ+1=0 它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了。

3、三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr。

4、多面体

设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则v-e+f=2-2p。

p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如p=0 的多面体叫第零类多面体； p=1 的多面体叫第一类多面体。